《剑指offer》 11.旋转数组的最小数字

note:拿到手就要意识到是二分查找。然后思考数组的特性,选定target和每次边界移动的方式。

题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。例如,数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转,该数组的最小值为1。

示例 1:

1
2
输入:[3,4,5,1,2]
输出:1

示例 2:

1
2
输入:[2,2,2,0,1]
输出:0

方法一 暴力

思路

暴力遍历,一般能过。

代码

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class Solution {
public:
int minArray(vector<int>& numbers) {

int minN = numbers[0];
for(auto n:numbers){
minN = min(n,minN);
}
return minN;
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度$O(n)$。显然经过了一次完整的遍历
  • 空间复杂度$O(1)$。没有需要存储的额外空间

方法二 快排

思路

快速排序,重新排序——优点就是太好写了(你管这叫优点?)

代码

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class Solution {
public:
int minArray(vector<int>& numbers) {
sort(numbers.begin(),numbers.end());
return numbers[0];
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度$O(nlogn)$。快排的复杂度。
  • 空间复杂度$O(nlogn)$。快排的复杂度。

方法三 二分查找

思路

显然前两种方法没有用到旋转数组的性质。而且为了拥有比$O(n)$更快的时间复杂度,很显然就是二分查找的方法,最主要的是,数组本身就是一个变形的“有序数组”,所以第一时间就应该考虑二分查找法。

二分查找需要两个条件,一是数组有序,而是目标值。

旋转数组虽然不是完全有序,但是是部分有序。目标值的选取我们可以考虑左值或者右值来判断区间如何缩小。

如果时刻选取左值为target,我们会发现无法给我们带来有效的规律。但是如果我们时刻选择右值为target,有这样一个性质——最小值右侧的元素必然小于等于最右值,左侧元素必然大于等于最右值。根据这一性质,我们就可以通过二分法来找最小值了。

分析二分查找每一步中中轴元素和最右值比较的不同结果

  • 中轴元素小于最右值。区间可以缩小为左指针到中轴元素,左闭右闭,右侧被舍去是因为他们一定比最小值大或者相等。
  • 中轴元素大于最右值。区间可以缩小为中轴元素到右指针,左开右闭,左侧被舍去是因为左侧元素一定比最小值大或者相等。
  • 中轴元素等于最右值。因为存在重复元素,所以这一步很困难进行区间的变动,但是由于中轴元素等于最右值,则最右值没有必要一定要在更新后的区间内,因为不会因为剪掉它,我们就错过最小值。

需要注意的是,不同于一般的二分查找,此次二分查找target是不断变化的。

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class Solution {
public:
int minArray(vector<int>& numbers) {
int left=0,right=numbers.size()-1;
while(left<=right){
int mid = left+(right-left)/2;
if(numbers[mid]<numbers[right]){
right = mid;
} else if(numbers[mid]>numbers[right]){
left = mid +1;
} else{
right --;
}
}
return numbers[left];
}
};

复杂度分析

  • 时间复杂度。平均时间复杂度为$O(logn)$,最坏时间复杂度为$O(n)$,此时数组全部相同。
  • 空间复杂度$O(1)$